Question

設(shè)數(shù){a_n}的前n項和為S_n，若對任意的n∈N^*，有a_n＞0且 成立．
（1）求a₁、a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，令，若數(shù)列{T_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵對任意的n∈N^*，有a_n＞0且 成立，
∴2S₁=2，
即，
解得a₁=0（舍），a₁=1．…（2分）
，
整理，得，
解得a₂=-1（舍），a₂=2．…（4分）
（2）∵，
∴2S_n+1=，
兩式作差可得2S_n+1-2S_n=2a_n+1=+a_n+1--（a_n+1+a_n）=0，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，…（6分）
因為a_n＞0，所以a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-1=0，…（8分）
所以數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，…（9分）
首項a₁=1，公差為1，所以a_n=n；…（10分）
（3）∵a_n=n，∴，…（11分）
∴T_n+1-T_n==，…（12分）
數(shù)列{T_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，
當(dāng)且僅當(dāng)T_n+1-T_n＞0?n+2-cn＞0?c＜恒成立，…（14分）
即c≤1，…（15分）
顯然c＞0，綜上所述c∈（0，1]．…（16分）
分析：（1）根據(jù)對任意的n∈N^*，有a_n＞0且 成立，分別令n=1和n=2，能求出a₁，a₂的值．
（2）由，得2S_n+1=，兩式作差可得a_n+1-a_n-1=0，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．
（3）由a_n=n，得，故T_n+1-T_n==，由此進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，能夠求出實數(shù)c的取值范圍．
點評：本題考查數(shù)列的首項和第二項的求法，考查數(shù)列通項公式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．