Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，2a_n+1=（1+

1

n

）²a_n
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=a_n+1-

1

2

a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由條件得

an+1

(n+1)2

=

1

2

•

an

n2

，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）由條件得

an+1

(n+1)2

=

1

2

•

an

n2

，
又n=1時(shí)，

an

n2

=1，
故數(shù)列{

an

n2

}構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
從而

an

n2

=

1

2n-1

，即an=

n2

2n-1

．
（2）由bn=

(n+1)2

2n

-

n2

2n

=

2n+1

2n

，
得Sn=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

，
⇒

1

2

Sn=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

，
兩式相減得：

1

2

Sn=

3

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n+1

2n+1

，
∴Sn=5-

2n+5

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．