Question

已知直線（θ是非零常數(shù)）與圓x²+y²=100有公共點，且公共點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（ ）
A．60條
B．66條
C．72條
D．78條

Answer 1

【答案】分析：直線是截距式方程，因而不平行坐標(biāo)軸，不過原點，考查圓上橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點的個數(shù)，結(jié)合排列組合知識分類解答．
解答：解：可知直線的橫、縱截距都不為零，即與坐標(biāo)軸不垂直，不過坐標(biāo)原點，而圓x²+y²=100上的整數(shù)點共有12個，分別為（6，±8），（-6，±8），（8，±6），（-8，±6），（±10，0），（0，±10），前8個點中，過任意一點的圓的切線滿足，有8條；12個點中過任意兩點，構(gòu)成C₁₂²=66條直線，其中有4條直線垂直x軸，有4條直線垂直y軸，還有6條過原點（圓上點的對稱性），故滿足題設(shè)的直線有52條．綜上可知滿足題設(shè)的直線共有52+8=60條，
故選A
點評：本題主要考查直線與圓的概念，以及組合的知識，既要數(shù)形結(jié)合，又要分類考慮，要結(jié)合圓上點的對稱性來考慮過點的直線的特征．是較難問題．易錯點：不能準(zhǔn)確理解題意，甚至混淆．對直線截距式方程認識不明確，認識不到三類特殊直線不能用截距式方程表示；對圓上的整數(shù)點探索不準(zhǔn)確，或分類不明確，都會導(dǎo)致錯誤，胡亂選擇．