Question

（2006•浦東新區(qū)一模）設(shè)z是復(fù)數(shù)，以下命題中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A．z為實(shí)數(shù)的充分必要條件是z-

  .

  z

  =0
• B．z為實(shí)數(shù)的充分必要條件是z²≥0
• C．z為純虛數(shù)的充分必要條件是z+

  .

  z

  =0
• D．z為純虛數(shù)的充分必要條件是z²＜0

Answer 1

分析：對(duì)各選項(xiàng)分別加以判斷：由共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，可得A選項(xiàng)是正確的，C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；根據(jù)實(shí)數(shù)的平方是一個(gè)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得B選項(xiàng)是正確的；根據(jù)實(shí)數(shù)的平方是一個(gè)非負(fù)數(shù)，并且當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)數(shù)是零時(shí)平方才為零，可得D也是正確的．

解答：解：對(duì)于A：設(shè)z=a+bi，（a、b為實(shí)數(shù)）為實(shí)數(shù)的充分必要條件是b=0，而b=0時(shí)，
z=a=

.

z

，所以等價(jià)于z-

.

z

=0，說(shuō)明A不錯(cuò)．
對(duì)于B：根據(jù)實(shí)數(shù)的平方非負(fù)的性質(zhì)可得，z²≥0則z為實(shí)數(shù)，反之也成立，說(shuō)明B不錯(cuò)
對(duì)于C：z設(shè)z=a+bi，（a、b為實(shí)數(shù)），則z為純虛數(shù)的定義是a=0且b≠0
說(shuō)明

.

z

=-bi，z=bi，z+

.

z

=0成立，但是反過(guò)來(lái)若z+

.

z

=0，有可能z=

.

z

=0，不能使z為純虛數(shù)
所以C是錯(cuò)誤的；
對(duì)于D：純虛數(shù)的一般形式是z=bi（b為非零的實(shí)數(shù)），
說(shuō)明若z是純虛數(shù)，則z²=（bi）²=-b²＜0，說(shuō)明充分性成立，
反之，若復(fù)數(shù)z滿足z²＜0，一方面說(shuō)明z²是實(shí)數(shù)，另一方面說(shuō)明z是虛數(shù)，說(shuō)明z必定是純虛數(shù)，所以D也不錯(cuò)
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題以復(fù)數(shù)的概念為例，考查了充分條件與必要條件的判斷是，屬于基礎(chǔ)題．準(zhǔn)確運(yùn)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式結(jié)合實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)加以判別，是解決本小題的關(guān)鍵．