Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x-1
（1）求f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x≥0時，f（x）≥tx²恒成立，求t的取值范圍；
（3）設n∈N^*，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）f'（x）=e^x-1，f（1）=e-2，由此能求出f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（2）設g（x）=f（x）-tx²（x≥0），則有g（0）=0，即需g_min（x）≥g（0），g'（x）=f'（x）-2tx=e^x-2tx-1（x≥0），令h（x）=e^x-2tx-1（x≥0），則有h'（x）=e^x-2t（x≥0）．由此進行分類討論，能求出t的取值范圍．
（3）當x＞0時，f'（x）=e^x-1＞0，f（x）≥0恒成立，故e^x≥1+x，由此能夠證明．
解答：（1）解：f'（x）=e^x-1，
f（1）=e-2，
所以所求切線方程為y-（e-2）=（e-1）（x-1），
即（e-1）x-y-1=0…（2分）
（2）解：設g（x）=f（x）-tx²（x≥0），
則有g（0）=0，
即需g_min（x）≥g（0），
g'（x）=f'（x）-2tx=e^x-2tx-1（x≥0），
令h（x）=e^x-2tx-1（x≥0），則有h'（x）=e^x-2t（x≥0）．
①當t≤0時，h'（x）＞0，所以h（x）在[0，+∞）上單調遞增，
所以h（x）≥h（0）=0，則g'（x）≥0，
所以g（x）在[0，+∞）上單調遞增，
所以g（x）≥g（0）=0，符合題意．
②若t＞0，則令h'（x）=0，得x=ln2t，
（�。┤� ln2t≤0即時，
h'（x）＞0所以h（x）在[0，+∞）上單調遞增，
所以h（x）≥h（0）=0，則g'（x）≥0，
所以g（x）在[0，+∞）上單調遞增，所以g（x）≥g（0）=0，符合題意．
（ⅱ） ln2t＞0即時，
x∈（0，ln2t），h'（x）＜0，所以h（x）在（0，ln2t）上單調遞減，
所以h（x）＜h（0）=0，則g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，ln2t）上單調遞減，所以g（x）＜g（0）=0，不符合題意，
綜上所述：．
（3）證明：當x＞0時，f'（x）=e^x-1＞0，
∴f（x）≥0恒成立，∴e^x≥1+x，
令x=-（n∈N^*，i=1，2，3，4，…，n）
∴＞1-＞0，
e^-i＞（）ⁿ，
=（）¹+（）²+…+（）ⁿ＜e^-（x-1）+e^-（x-2）+…+e^-1+e
=＜=＜2．
點評：本題考查切線方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)的應用，合理地運用分類討論思想和等價轉化思想解題．