Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值、最小值分別是M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={1}，且a≥1，記g（a）=M+m，求g（a）的最小值．

Answer 1

解：（1）由f（0）=2可知c=2，
又A={1，2}，
故1，2是方程ax²+（b﹣1）x+c=0的兩實(shí)根．
∴，
解得a=1，b=﹣2
∴f（x）=x²﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
因?yàn)閤∈[﹣2，2]，根據(jù)函數(shù)圖象可知，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=f（1）=1，即m=1；
當(dāng)x=﹣2時(shí)，f（x）_max=f（﹣2）=10，即M=10．
（2）由題意知，方程ax²+（b﹣1）x+c=0有兩相等實(shí)根x₁=x₂=1，
根據(jù)韋達(dá)定理得到：
，即，
∴f（x）=ax²+bx+c=ax²+（1﹣2a）x+a，x∈[﹣2，2]
其對(duì)稱軸方程為x==1﹣
又a≥1，故1﹣
∴M=f（﹣2）=9a﹣2m=則
g（a）=M+m=9a﹣﹣1
又g（a）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)遞增的，
∴當(dāng)a=1時(shí)，g（a）_min=