Question

已知f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，有f（x+1）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=log₂（x+1），給出下列命題：
①f（2013）+f（-2014）的值為0；
②函數(shù)f（x）在定義域上為周期是2的周期函數(shù)；
③直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；
④函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．
其中正確的命題序號(hào)有

 

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Answer 1

分析：根據(jù)已知中函數(shù)的奇偶性，及當(dāng)x≥0時(shí)，有f（x+1）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=log₂（x+1），畫出函數(shù)的圖象，逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答：解：∵f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，
且當(dāng)x≥0時(shí)，有f（x+1）=-f（x），
且當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=log₂（x+1），
故函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：f（2013）+f（-2014）=0+0=0，故①正確；
函數(shù)f（x）在定義域上不是周期函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，故③正確；
函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1），故④正確；
故正確的命題序號(hào)有：①③④
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中根據(jù)已知畫出滿足條件的函數(shù)圖象是解答的關(guān)鍵．