Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．已知bsinA=3csinB，△ABC面積為

5

2

，cosB=

2

3

．
（1）求b的值；
（2）求cos（2B-A）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),正弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系及正弦定理、余弦定理即可求得b的值；
（2））利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系可求得sinA，利用倍角公式可求得cos2B與sin2B，再由兩角差的余弦可求得cos（2B-A）的值．

解答： 解：（1）在△ABC中，由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，
∴a=3c；
又cosB=

2

3

，
∴sinB=

1-cos2B

=

5

3

，∵△ABC面積為

5

2

，
∴

1

2

acsinB=

1

2

×3c²×

5

3

=

5

2

，
∴c=1，a=3；
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=10-2×3×1×

2

3

=6，
解得：b=

6

．
（2）由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

6+1-9

2× 6 ×1

=-

6

6

，A∈（0，π），
∴sinA=

30

6

，
由cosB=

2

3

得：cos2B=2cos²B-1=-

1

9

（

π

2

＜2B＜π），sin2B=

4 5

9

，
∴cos（2B-A）=cos2BcosA+sin2BsinA=（-

1

9

）（-

6

6

）+

4 5

9

×

30

6

=

7 6

18

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查倍角公式與兩角差的余弦，考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系的應(yīng)用，突出考查運(yùn)正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于難題．