Question

9．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=2，且a_n=2a_n-1-1（n∈N₊，n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列；并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{n•a_n-n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2a_n-1-1（n∈N₊，n≥2），變形為：a_n-1=2（a_n-1-1）．利用等比數(shù)列的定義及其通項公式即可得出．
（2）由（1）可得n•a_n-n=n•2^n-1．再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n=2a_n-1-1（n∈N₊，n≥2），變形為：a_n-1=2（a_n-1-1）．
又a₁-1=1，∴數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，首項為1，公比為2．
∴a_n-1=2^n-1，可得a_n=2^n-1+1．
（2）解：數(shù)列n•a_n-n=n•2^n-1．
∴數(shù)列{n•a_n-n}的前n項和S_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2S_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
解得S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的定義通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．