Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

．
（Ⅰ）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（Ⅱ）用定義證明f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）在[-1，0）上是否有最大值和最小值？如果有最大值或最小值，請求出最值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（I）用函數(shù)奇偶性定義證明，要注意定義域．（II）先任取兩個變量，且界定大小，再作差變形看符號，（III）由函數(shù)圖象判斷即可．

解答： 解：（Ⅰ）證明：（I）函數(shù)為奇函數(shù)f（-x）=-x-

1

x

=-f（x），
（II）設(shè)x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=x₂+

1

x2

-x₁-

1

x1

=

(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0，
∵x₂＞x₁∴x₂-x₁＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，f（x₂）＜f（x₁），
因此函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
（III）由（Ⅰ）（Ⅱ）得：
f（x）在[-1，0）上是減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（-1）=-2，無最小值．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性定義，要注意奇偶性要先判斷，單調(diào)性變形要到位．