Question

如圖，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)，∠PDA＝45°，

(1)求證：AF∥平面PEC；

(2)求證：平面PEC⊥平面PCD；

(3)若AD＝1，CD＝，求點(diǎn)A到平面PEC的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：取PC中點(diǎn)H，連FH得FH∥CD， 　　且FH＝CD． 　　又∵AE＝CD， 　　∴AE＝FH，即AEHF是平行四邊形． 　　∴AF∥EH，∵AF平面PEC，HE平面PEC， 　　∴AF∥平面PEC． 　　(2)證明：∵ABCD是矩形且PA⊥底面ABCD，∴CD⊥平面PAD． 　　∴CD⊥AF． 　　∵PA⊥AD，∠PDA＝45°，F(xiàn)是PD中點(diǎn)． 　　∴AF⊥PD． 　　∴AF⊥平面PCD， 　　又∵HE∥AF，∴HE⊥平面PCD． 　　∵HE面PEC， 　　∴平面PEC⊥平面PCD． 　　(3)解：∵AF∥平面PEC，∴點(diǎn)A到平面PEC之距即為點(diǎn)F到平面PEC之距． 　　∵平面PEC⊥平面PCD， 　　在平面PCD內(nèi)過F作PC的垂線FK交PC于K． 　　則FK⊥平面PEC，即點(diǎn)F到平面PEC的距離為FK． 　　由PA⊥AD，∠PDA＝45°知PD＝． 　　又CD＝，CD⊥PD，∴△PCD斜邊上的高為1． 　　∴FK＝． 　　∴點(diǎn)A到平面PEC的距離為．