Question

若函數(shù)y=x³-3x在（a，6-a²）上有最值，求a的取范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)y=x³-3x的兩個極值點(diǎn)±1，由于函數(shù)y=x³-3x在（a，6-a²）上有最值，可得a＜6-a²，且-1∈（a，6-a²）或1∈（a，6-a²），解出即可．

解答： 解：y′=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令y′=0，解得x=±1．
由y′＞0，解得x＞1或x＜-1，∴函數(shù)y在區(qū)間（-∞，-1），（1，+∞）單調(diào)遞增；
由y′＜0，解得-1＜x＜1，∴函數(shù)y在區(qū)間（-1，1）單調(diào)遞減法．
可知：函數(shù)y在x=-1取得極大值，在x=1處取得極小值．
∵函數(shù)y=x³-3x在（a，6-a²）上有最值，
∴a＜6-a²，且-1∈（a，6-a²）或1∈（a，6-a²）．
由a＜6-a²，解得-3＜a＜2．
由-1∈（a，6-a²），∴a＜-1＜6-a²解得-

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＜a＜-1；
由1∈（a，6-a²），a＜1＜6-a²解得-

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＜a＜1．
∴綜上可得-

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＜a＜1．
∴a的取范圍是(-

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，1)．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了給出區(qū)間上含有極值的問題，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．