Question

已知離心率為的雙曲線C的中心在坐標原點，左、右焦點F₁、F₂在x軸上，雙曲線C的右支上一點A使且△F₁AF₂的面積為1．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）若直線l：y=kx+m與雙曲線C相交于E、F兩點（E、F不是左右頂點），且以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點D．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意設雙曲線的標準方程為，由已知得：，解得a=2b．由且△F₁AF₂的面積為1，知（|F₁A|-|F₂A|）²=4c²-4=4a²，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）△=（8km）²-4（4m²+4）（4k²-1）＞0，，，由以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點D（2，0），知Rt△PAE即，由此入手能夠導出直線過定點（，0）．
解答：解：（1）由題意設雙曲線的標準方程為，
由已知得：解得a=2b，
∵且△F₁AF₂的面積為1，
∴，，|F₁A|²+|F₂A|²=|F₁F₂|²
∴（|F₁A|-|F₂A|）²=4c²-4=4a²
∴b=1，a=2，
∴雙曲線C的保準方程為．
（2）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂） 聯立y=kx+m與雙曲線

x2

4

-y²=1
得（4k²-1）x²+8kmx+4（m²+1）=0
△=（8km）²-4（4m²+4）（4k²-1）＞0
即4k²-m²-1＜0
則，
又∴
∵以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點D（2，0）
∴Rt△PAE即
∴
∴，且均滿足．
∵AC₁⊥EG，∴．
當時，直線的方程為，
直線過定點（2，0），與已知矛盾！
當時，
直線的方程為θ，直線過定點（，0）
∴直線l定點，定點坐標為（，0）．
點評：本題考查雙曲線的方程的求法和求證直線l過定點，并求出該定點的坐標．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．