Question

(本小題滿分13分)
某化工企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為3元，根據(jù)市場調(diào)查，預計每件產(chǎn)品的出廠價為x元(7≤x≤10)時，一年的產(chǎn)量為(11 – x)²萬件；若該企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部銷售，則稱該企業(yè)正常生產(chǎn)；但為了保護環(huán)境，用于污染治理的費用與產(chǎn)量成正比，比例系數(shù)為常數(shù)a (1≤a≤3)．
（Ⅰ）求該企業(yè)正常生產(chǎn)一年的利潤L (x)與出廠價x的函數(shù)關系式；       
（Ⅱ）當每件產(chǎn)品的出廠價定為多少元時，企業(yè)一年的利潤最大，并求最大利潤．

Answer 1

L（x）= (x – 3 – a) (11 – x)²，x∈[7，10]．
，每件產(chǎn)品出廠價為元時，年利潤最大，為(8 – a)³萬元

（Ⅰ）依題意，L (x) = (x – 3 ) (11 – x)² – a (11 – x)²
= (x – 3 – a) (11 – x)²，x∈[7，10]． ………………5分
（Ⅱ）因為L′(x) =" (11" – x)² – 2 (x – 3 – a) (11 – x) =" (11" – x ) (11 – x – 2x + 6 + 2a)
=" (11" – x )(17 + 2a – 3x)．
由L′(x) = 0，得x = 11[7，10]或x = ．  ………………7分
∵1≤a≤3，∴．
在x = 的兩側L′(x)由正變負，   ……………………8分       
故①當，即1≤a≤2時，L′(x)在[7，10]上恒為負，∴L (x)在[7，10]上為減函數(shù)．
∴[L (x)]_max = L (7) =" 16" (4 – a)．   ………………………………10分
②當7，即2<a≤3時，       [L (x)]_max = L ……12分
即1≤a≤2時，則當每件產(chǎn)品出廠價為7元時，年利潤最大，為16 (4 – a)萬元．當2<a≤3時，則每件產(chǎn)品出廠價為元時，年利潤最大，為(8 – a)³萬元． …………13分