Question

工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，次品率p與日產(chǎn)量x（萬件）間的關(guān)系為P=

1 6-x ，0＜x≤c 2 3 ，x＞c

（c為常數(shù)，且0＜c＜6），已知每生產(chǎn)1件合格產(chǎn)品盈利3元，每出現(xiàn)1件次品虧損1.5元．
（1）將日盈利額y（萬元）表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；
（2）為使日盈利額最大，日產(chǎn)量應(yīng)為多少萬件？（注：次品率=

次品數(shù)

產(chǎn)品總數(shù)

×100%）

Answer 1

分析：（1）要求日盈利額y（萬元），只要找出日產(chǎn)量x（萬件）中正品與次品的數(shù)量，根據(jù)分段函數(shù)分段研究，針對不同的次品率得到不同的正品與次品數(shù)即可；
（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）當(dāng)x＞c時，p=

2

3

∴y=

1

3

•x•3-

2

3

•x•

3

2

=0（1分）
當(dāng)0＜x≤c時，p=

1

6-x

∴y=(1-

1

6-x

)•x•3-

1

6-x

•x•

3

2

=

3

2

•

9x-2x2

6-x

（3分）
∴日盈利額y（萬元）與日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式為y=

3(9x-2x2) 2(6-x) ，0＜x≤c 0 ，x＞c

（6分）
（2）由（1）知，當(dāng)x＞c時，日盈利額為0．
當(dāng)0＜x≤c時，∵y=

3(9x-2x2)

2(6-x)

∴y′=

3

2

×

(9-4x)(6-x)+(9x-2x2)

(6-x)2

令y'=0得x=3或x=9（舍去）（8分）
①當(dāng)0＜c＜3時，
∵y'＞0，∴y在區(qū)間（0，c]]上單調(diào)遞增，∴y_最大值=f（c）=

3(9c-2c2)

2(6-c)

，
此時x=c（10分）
②當(dāng)3≤c≤6時，在（0，3）上，y'＞0，
在（3，6）上y'＜0∴y_最大值=f（3）=

9

2

綜上，若0＜c＜3，則當(dāng)日產(chǎn)量為c萬件時，日盈利額最大；
若3≤c＜6，則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬件時，日盈利額最大（13分）

點評：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用與計算以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，要求熟練掌握求導(dǎo)法則以及導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性解決問題，是中等題．