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求證：當n∈N，n≥2時，

．

 

答案：
解析：

證明：1˚ 當n =2時，左邊=，右邊=，不等式成立．

2˚ 假設當n = k（k≥2）時不等式成立：

．

則 

∵

，

∴ ．

由此可得 ，說明當n = k+1時不等式仍成立．

由1˚、2˚可知不等式對一切不小于2的自然數n都成立．

評述  此題采用數學歸納法證明是很自然的、有效的．但數學歸納法并不是惟一的證法．采用放縮變換也可證明此不等式．

∵ n∈N，n≥2，

∴

．

 


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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=ln
x+1
2
+
1-x
a(x+1)
(a＞0)．
（Ⅰ）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：當n∈N*且n≥2時，
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
＜ln n．

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科目：高中數學 來源：數學教研室 題型：044

求證：當n∈N，n≥2時，

．

 

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設函數f（x）=ln
x+1
2
+
1-x
a(x+1)
(a＞0)．
（Ⅰ）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：當n∈N*且n≥2時，
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
＜ln n．

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年廣西桂林十八中高三（上）第一次月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設函數f（x）=ln．
（Ⅰ）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：當n∈N*且n≥2時，．

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