Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC， ，AB⊥AC，D是棱BB1的中點．
（Ⅰ）證明：平面A1DC⊥平面ADC；
（Ⅱ）求平面A1DC與平面ABC所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵側棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AC，

又∵AB⊥AC，AB∩AC=A，∴AC⊥平面ABB1A1，

∵A1D平面ABB1A1，∴AC⊥A1D，

設AB=a，由 ，AB⊥AC，D是棱BB1的中點．

得 ，AA1=2a，

則 + ，

∴AD⊥A1D，

∵AD∩AC=A，∴A1D⊥平面ADC．

又∵A1D平面A1DC，∴平面A1DC⊥平面ADC；

（Ⅱ）解：如圖所示，分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

不妨設AB=1，則A（0，0，0），D（1，0，1），C（0，1，0），A1（0，0，2）．

顯然 是平面ABC的一個法向量，

設平面A1DC的法向量 ，

由

令z=1，得平面A1DC的一個法向量 ，

∴ = ，

即平面A1DC與平面ABC所成二面角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由側棱AA1⊥底面ABC，得AA1⊥AC，結合AB⊥AC，利用線面垂直的判定可得AC⊥平面ABB1A1，進一步得到AC⊥A1D，AB=a，通過求解三角形可得AD⊥A1D，得到A1D⊥平面ADC．由線面垂直的判定可得平面A1DC⊥平面ADC；（Ⅱ）分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設AB=1，求得A，D，C，A1的坐標，進一步求出平面ABC與平面A1DC的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面A1DC與平面ABC所成二面角的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．