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已知數列{an}和{bn}滿足：a1＝λ，an+1＝其中λ為實數，n為正整數．

(Ⅰ)對任意實數λ，證明數列{an}不是等比數列；

(Ⅱ)試判斷數列{bn}是否為等比數列，并證明你的結論；

(Ⅲ)設0＜a＜b，Sn為數列{bn}的前n項和．是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：假設存在一個實數λ，使｛an｝是等比數列，則有a22＝a1a3，即

　　矛盾．

　　所以｛an｝不是等比數列．

　　(Ⅱ)解：因為bn+1＝(－1)n+1[an+1－3(n－1)＋21]＝(－1)n+1(an－2n＋14)

　�。�(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn

　　又b1x－(λ＋18)，所以

　　當λ＝－18，bn＝0(n∈N+)，此時｛bn｝不是等比數列：

　　當λ≠－18時，b1＝(λ＋18)≠0，由上可知bn≠0，∴(n∈N+)．

　　故當λ≠－18時，數列｛bn｝是以－(λ＋18)為首項，－為公比的等比數列．

　　(Ⅲ)由(Ⅱ)知，當λ＝－18，bn＝0，Sn＝0，不滿足題目要求．

　　∴λ≠－18，故知bn＝－(λ＋18)·(－)n－1，于是可得

　　Sn＝－

　　要使a＜Sn＜b對任意正整數n成立，

　　即a＜－(λ＋18)·[1－(－)n]〈b(n∈N+)

　　　�、�

　　當n為正奇數時，1＜f(n)

　　∴f(n)的最大值為f(1)＝，f(n)的最小值為f(2)＝，

　　于是，由①式得a＜－(λ＋18)，＜

　　當a＜b3a時，由－b－18＝－3a－18，不存在實數滿足題目要求；

　　當b＞3a存在實數λ，使得對任意正整數n，都有a＜Sn＜b，且λ的取值范圍是(－b－18，－3a－18)．

　　本小題主要考查等比數列的定義、數列求和、不等式等基礎知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理認證能力，(滿分14分)


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}和{bn}滿足：a=1，a1=2，a2＞0，bn=
a1an+1
(n∈N*)．且{bn}是以
a為公比的等比數列．
（Ⅰ）證明：aa+2=a1a2；
（Ⅱ）若a3n-1+2a2，證明數例{cx}是等比數例；
（Ⅲ）求和：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+
1
a4
+…+
1
a2n-1
+
1
a2n
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}和{bn}滿足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-
2n
3
+
4
9
．
（1）當m=1時，求證：對于任意的實數λ，{an}一定不是等差數列；
（2）當λ=-
1
2
時，試判斷{bn}是否為等比數列．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}和等比數列{bn}滿足：a1=b1=4，a2=b2=2，a3=1，且數列{an+1-an}是等差數列，n∈N*，
（Ⅰ）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）問是否存在k∈N*，使得ak-bk∈(
12
，3]？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=
23
an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21）其中λ為實數，且λ≠-18，n為正整數．
（Ⅰ）求證：{bn}是等比數列；
（Ⅱ）設0＜a＜b，Sn為數列{bn}的前n項和．是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•孝感模擬）已知數列{an}和{bn}滿足a1=1且bn=1-2an，bn+1=
bn
1-4 
a
2
n
．
（I）證明：數列{
1
an
}是等差數列，并求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k
1
b2b3…bnbn+1 
對任意正整數n都成立的最大實數k．

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