Question

已知x=1是函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）ex（a≠-4）的一個極值點（e是自然對數(shù)底數(shù)）．
（I）當a＞-4時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（用a表示）；
（II）若函數(shù)f（x）在x∈[0，1]上沒有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）據(jù)極值點處的導函數(shù)值為0得到a，b的關系，代入導函數(shù)中求出導函數(shù)的兩根，利用a＞-4，結合導函數(shù)的符號，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）分類討論，結合函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)零點存在定理，即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x=[x²+（2+a）x+（a+b）]e^x，
∵x=1是函數(shù)f（x）的一個極值點，∴f'（1）=0，
即e[1+（2+a）+（a+b）]=0，解得b=-3-2a，
則f′（x）=e^x[x²+（2+a）x+（-3-a）]=e^x（x-1）[x+（3+a）]
令f′（x）=0，得x₁=1或x₂=-3-a，
當a＞-4即-3-a＜1時，由f′（x）＞0得x∈（1，+∞）或x∈（-∞，-3-a）；由f′（x）＜0得x∈（-3-a，1），
∴當a＞-4時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3-a）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-3-a，1）；
（II）當-3-a≥0，即a≤-3時，f（0）=-（2a+3）≥3＞0，f（1）=-（a+2）e≥e＞0
∵f（x）在[0，-a-3）遞增，在（-a-3，1）遞減
∴函數(shù)f（x）在x∈[0，1]上沒有零點，
當-3-a＜0，即a＞-3時，∵f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減
∴若函數(shù)f（x）在x∈[0，1]上沒有零點，則或
∴a的取值范圍是-3＜a≤-2或a≥-．
綜上，a的取值范圍是a≤-2或a≥-．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點，考查學生的計算能力，屬于中檔題．