Question

16、直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥B₁C；
（Ⅱ）求證：AC₁∥平面B₁CD．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用勾股定理可得AC⊥BC，由直三棱柱的性質(zhì)可得CC₁⊥AC，從而得到AC⊥平面BB₁C₁C，進而得到AC⊥B₁C．
 （Ⅱ） 取B₁C中點E，得到 DE為△ABC₁的中位線，得到DE∥AC₁，由線面平行的判定定理證得AC₁∥平面B₁CD．

解答：證明：（Ⅰ）在△ABC中，因為AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC⊥BC．
因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以，CC₁⊥AC．
因為BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB₁C₁C．
所以AC⊥B₁C．
（Ⅱ）連接BC₁，交B₁C于E．
因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
所以側(cè)面BB₁C₁C為矩形，且E為B₁C中點．
又D是AB中點，所以DE為△ABC₁的中位線，所以DE∥AC₁．
因為DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
所以，AC₁∥平面B₁CD．

點評：本題考查證明線線垂直、線面平行的方法，線面垂直的性質(zhì)定理和線面平行的 判定定理，取B₁C中點E，得到DE為△ABC₁的中位線是解題的關(guān)鍵．