Question

已知3，5，21是各項(xiàng)均為整數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列{a_n}的三項(xiàng)，若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，給出關(guān)于數(shù)列{a_n}的4個(gè)命題：1滿足條件的d有8個(gè)不同的取值；2存在滿足條件的數(shù)列{a_n}，使得對(duì)任意的n∈N^*，都有S_2n=4S_n成立；3對(duì)任意滿足條件的d，存在a₁，使得99一定是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)；4對(duì)任意滿足條件的d，存在a₁，使得30一定是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)；則其中所有正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：由題意得，公差d可能為1，2，-1，-2，共4個(gè)不同的值，故1不正確．根據(jù)4個(gè)不同公差，分別求出S_2n和
S_n的值，經(jīng)檢驗(yàn)2不正確．根據(jù)4個(gè)不同公差，分別求出首項(xiàng)a₁，經(jīng)檢驗(yàn)3、4正確．

解答：解：∵3，5，21是各項(xiàng)均為整數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列{a_n}的三項(xiàng)，
∴公差d 可能為1，2，-1，-2，共4個(gè)不同的值，故1不正確．
當(dāng)d=1時(shí)，s_n=na₁+

n(n-1)

2

，s_2n=2na₁+

2n(2n-1)

2

，S_2n=4S_n 不成立，
同理，當(dāng)d=-1時(shí)，S_2n=4S_n不成立．
當(dāng)d=2時(shí)，s_n=na₁+n（n-1），s_2n=2na₁+2n（2n-1），S_2n=4S_n 不成立，
同理，當(dāng) 當(dāng)d=-2時(shí)，S_2n=4S_n 不成立，故 2不正確．
當(dāng)d=1時(shí)，通項(xiàng)公式為 a_n=a₁+（n-1），令99=a₁+（n-1），a₁=100-n．
同理當(dāng)d=-1時(shí)，通項(xiàng)公式為 a_n=a₁-（n-1），令99=a₁-（n-1），a₁=98+n．
當(dāng)d=2時(shí)，通項(xiàng)公式為  為 a_n=a₁+2（n-1），令99=a₁+2（n-1），a₁=101-2n．
當(dāng)d=-2時(shí)，通項(xiàng)公式為  為 a_n=a₁-2（n-1），令99=a₁-2（n-1），a₁=97+2n，故3正確．
當(dāng)d=1時(shí)，通項(xiàng)公式為 a_n=a₁+（n-1），令30=a₁+（n-1），a₁=31-n．
同理當(dāng)d=-1時(shí)，通項(xiàng)公式為 a_n=a₁-（n-1），令30=a₁-（n-1），a₁=29+n．
當(dāng)d=2時(shí)，通項(xiàng)公式為  為 a_n=a₁+2（n-1），令30=a₁+2（n-1），a₁=32-2n．
當(dāng)d=-2時(shí)，通項(xiàng)公式為  為 a_n=a₁-2（n-1），令30=a₁-2（n-1），a₁=28+2n，故4正確．
故答案為 3、4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，求出首項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，
屬于中檔題．