Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-2x-1|若1＞a＞b，f（a）=f（b），則u=（b-a）³-3（a²+b²）+6ab+1的范圍是（　�。�

• A．（1，1+

  2

  ）
• B．[-1，3]
• C．[0，5）
• D．[0，2）

Answer 1

分析：先化簡函數(shù)u=（b-a）³-3（a²+b²）+6ab+1=（b-a）³-3（b-a）²+1，再判斷b-a的取值范圍，從而可得結(jié)論．

解答：解：f（x）=|x²-2x-1|=|（x-1）²-2|，圖象是一個(gè)對(duì)稱軸為x=1的拋物線，把x軸下方的圖形關(guān)于x軸翻折上去，
設(shè)這個(gè)圖形與x軸交點(diǎn)分別為x₁，x₂（x₁＜x₂）
那么在x₁＜x＜x₂，f（x）有最大值，在x=1時(shí)取得，f（1）=2
解方程 f（x）=|x²-2x-1|=2，可以算出x=-1或1或3
∵1＞a＞b，f（a）=f（b），
∴-1＜b＜a＜1，a²+2a-1＜0，b²+2b-1＞0
∵u=（b-a）³-3（a²+b²）+6ab+1=（b-a）³-3（b-a）²+1
∴只需判斷b-a的取值范圍，
∵-1＜b＜0＜a＜1，-（a²+2a-1）=b²+2b-1
∴（a+1）²+（b+1）²=4
設(shè)a+1=2cosα，b+1=2sinα（0＜α＜

π

2

）
∴b-a=2

2

sin（α-

π

4

）
∴-2＜b-a＜0
考查函數(shù)y=x³-3x+1在（-2，0）的值域
求導(dǎo)函數(shù)可得y′=3x²-3
令y′＞0，可得x＜-1或x＞1；令y′＜0，可得-1＜x＜1
∴函數(shù)在x=-1處取得極大3，在x=-2處取得極小值為-1
∴u=（b-a）³-3（a²+b²）+6ab+1的范圍是[-1，3]
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．