已知橢圓的方程為，點的坐標滿足過點的直線與橢圓交于、兩點，點為線段的中點，求：

                          

（1）點的軌跡方程；

（2）點的軌跡與坐標軸的交點的個數(shù)．

（Ⅰ）（Ⅱ）當a=0，b=0，即點P（a，b）為原點時，（a，0）、（0，b）與（0，0）重點，曲線L與坐標軸只有一個交點（0，0）

當a=0且，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時，點（a，0）與（0，0）重合，曲線L與坐標軸有兩個交點（0，b）與（0，0）

同理，當b=0且，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時，曲線L與坐標軸有兩個交點（a，0）與（0，0）

當且，即點P（a，b）在橢圓C內(nèi)且不在坐標軸上時，曲線L與坐標軸有三個交點（a，0）、（0，b）與（0，0）


解析:

（1）設點、的坐標分別為、，點的坐標為．當時，設直線的斜率為，則的方程為

由已知          （1）

      （2）

由（1）得

，  （3）

由（2）得

，              （4）

由（3）、（4）及，，，

得點Q的坐標滿足方程

                      （5）

當時，k不存在，此時l平行于y軸，因此AB的中點Q一定落在x軸上，即Q的坐標為（a，0）顯然點Q的坐標滿足方程（5）

綜上所述，點Q的坐標滿足方程

設方程（5）所表示的曲線為L，

則由

得

因為，由已知，

所以當時，△=0，曲線L與橢圓C有且只有一個交點P（a，b）

當時，△＜0，曲線L與橢圓C沒有交點

因為（0，0）在橢圓C內(nèi)，又在曲線L上，所以曲線L在橢圓C內(nèi)

故點Q的軌跡方程為

（2）由 解得曲線L與y軸交于點（0，0），（0，b）

由 解得曲線L與x軸交于點（0，0），（a，0）

當a=0，b=0，即點P（a，b）為原點時，（a，0）、（0，b）與（0，0）重點，曲線L與坐標軸只有一個交點（0，0）

當a=0且，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時，點（a，0）與（0，0）重合，曲線L與坐標軸有兩個交點（0，b）與（0，0）

同理，當b=0且，即點P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時，曲線L與坐標軸有兩個交點（a，0）與（0，0）

當且，即點P（a，b）在橢圓C內(nèi)且不在坐標軸上時，曲線L與坐標軸有三個交點（a，0）、（0，b）與（0，0）

練習冊系列答案
相關習題

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已知橢圓的方程為，點P的坐標為（-a，b）.

（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點的坐標；

（2）設直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；

（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.

已知橢圓的方程為，點P的坐標為（-a，b）.

（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點的坐標；

（2）設直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；

（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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已知橢圓的方程為，點P的坐標為（-a，b）.

（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點的坐標；

（2）設直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；

（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆山東省聊城市高二第四次模塊檢測理科數(shù)學卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的方程為，點P的坐標為（-a，b）.

（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點的坐標；

（2）設直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；

（3）對于橢圓上的點Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的θ的取值范圍.

 

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