Question

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，＋與a＝(3，－1)共線． (1) 求橢圓的離心率 (2) 設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且＝λ＋μ(λ、μ∈R)，證明：λ2＋μ2為定值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：設(shè)橢圓方程為＋=1(a＞b＞0)，F(xiàn)(c，0)，則直線AB的方程為y=x－c，代入＋=1，化簡(jiǎn)得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2=0．令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y1)．則x1＋x2=，x1x2=．由＋=(x1＋x2，y1＋y2)，a=(3，－1)，＋與a共線，得3(y1十y2)＋(x1＋x2)=0．又y1=x1－c，y2=x2－c， 　　∴3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)=0． 　　∴x1＋x2=．即=， 　　∴a2=3b2． 　　∴c==，故離心率e==．

(2)

由(1)知a2=3b2，所以橢圓方程＋=1可化為x2＋3y2=3b2． 　　設(shè)=(x，y)，由已知得(x，y)=λ(x1，y1)＋μ(x1，y2)， 　　∵M(jìn)(x，y)在橢圓上， 　　∴(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2=3b2． 　　即λ2(＋)＋μ2(＋)＋2λμ·(x1x2＋3y1y2)=3b2．　① 　　由(1)知x1＋x2=，a2=c2，b2=c2． 　　∴x1x2==，x1x2＋3y1y2=x1x2＋3(x1－c)(x2－c)=c2－c2＋3c2=0． 　　又十=3b2，十=3b2，代入①得λ2＋μ2=1為定值． 　　點(diǎn)評(píng)：以解析幾何知識(shí)為載體，以向量為工具，以考查圓錐曲線性質(zhì)和向量有關(guān)公式、性質(zhì)及應(yīng)用為目標(biāo)的平面向量與解析幾何的交匯試題是近幾年高考試題的一個(gè)熱點(diǎn)．通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、長(zhǎng)度等問(wèn)題，應(yīng)用這些條件時(shí)，通常是用向量的坐標(biāo)運(yùn)算把其轉(zhuǎn)化為解析幾何中的條件，使問(wèn)題坐標(biāo)化、代數(shù)化、符號(hào)化，從而應(yīng)用代數(shù)運(yùn)算來(lái)處理解析幾何中的相關(guān)問(wèn)題．其中，平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形式運(yùn)算，兩非零向量平行、垂直的充分條件，向量的夾角公式等都是常用到的知識(shí)．