如圖,在三棱錐A-BCD中,側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD=,BD=CD=1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形

(1)求證:AD^BC
(2)求二面角B-AC-D的大小
(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)E,使ED與面BCD成30°角?若存在,確定E的位置;若 
不存在,說(shuō)明理由.
(1)見(jiàn)解析    (2) 所求二面角的大小是
(3)上存在點(diǎn),且時(shí),與面角.
本試題主要考查了立體幾何中的線線的垂直的證明,以及二面角的求解問(wèn)題,線面角的求解的綜合運(yùn)用。
(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理得到證明。
(2)合理的建立空間直角坐標(biāo)系,表示平面的法向量,借助于向量的數(shù)量積的性質(zhì)定理,表示法向量的夾角,得到二面角的平面角的大小。
(3)對(duì)于探索性問(wèn)題,可以假設(shè)存在,然后在此基礎(chǔ)上,我們進(jìn)一步分析斜向量和平面的法向量,利用線面角的大小求解得到。
解: (1)方法一:作,連


,則是正方形.

方法二:取的中點(diǎn),連、,
則有

(2)作,作,
就是二面角的平面角.
的中點(diǎn),且

由余弦定理得
(3)設(shè)為所求的點(diǎn),作,連.則
就是與面所成的角,則.
設(shè),易得
解得
故線段上存在點(diǎn),且時(shí),與面角.
解法二:
(1)作,連、,則四邊形是正方形,且,
為原點(diǎn),以軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,


 
(2)設(shè)平面的法向量為則由知:;
同理由知:可取同理,可求得平面的一個(gè)法向量為由圖可以看出,二面角的大小應(yīng)等于<>
<>,即所求二面角的大小是.
(3)設(shè)是線段上一點(diǎn),則
平面的一個(gè)法向量為
要使與面角,由圖可知的夾角為,
所以
,解得,,則
故線段上存在點(diǎn),且,時(shí)與面角.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)如圖,直三棱柱中,,分別為的中點(diǎn),,二面角的大小為.

(Ⅰ)證明:
(Ⅱ)求與平面所成的角的大小.

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如圖示,邊長(zhǎng)為4的正方形與正三角形所在平面互相垂直,M、Q分別是PC,AD的中點(diǎn)。

(1)求證:
(2)求多面體的體積
(3)試問(wèn):在線段AB上是否存在一點(diǎn)N,使面若存在,指出N的位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在三棱錐中, 
(1)求證:平面⊥平面
(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值;
(3)若動(dòng)點(diǎn)M在底面三角形ABC上,二面角M-PA-C的余弦值為,求BM的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

有一個(gè)正四棱臺(tái)形狀的油槽,可以裝油,假如它的兩底面邊長(zhǎng)分別等于,求它的深度為多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖1, E, F,G分別是邊長(zhǎng)為2的正方形所ABCD所在邊的中點(diǎn),沿EF將ΔCEF截去后,又沿EG將多邊形ABEFD折起,使得平面DGEF丄平面ABEG得到如圖2所示的多面體.

(1) 求證:FG丄平面BEF;
(2) 求二面角A-BF-E的大;
(3) 求多面體ADG—BFE的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,∠BAB1 =30°,則異面直線C1D與B1B所成的角是
A.60°B.90°
C.30° D.45°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

有一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體,按任意方向正投影, 其投影面積的最大值是
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在直三棱柱中,底面為等腰直角三角形,為棱上一點(diǎn),且平面平面.
(Ⅰ)求證:點(diǎn)為棱的中點(diǎn);
(Ⅱ)判斷四棱錐的體積是否相等,并證明。

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