Question

求函數(shù)y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x的最小正周期、最小值和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：把函數(shù)解析式中的第一與第三項(xiàng)結(jié)合，利用平方差公式分解因式，根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，第二項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，然后提取2后，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角2x-

π

6

的正弦函數(shù)，找出λ的值，利用周期公式T=

2π

λ

即可求出最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的值域得到正弦函數(shù)的最小值為-1，即可求出函數(shù)y的最小值，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得到2x-

π

6

的范圍，求出x的范圍即為函數(shù)y的遞增區(qū)間．

解答：解：y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x
=sin⁴x-cos⁴x+2

3

sinxcosx
=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）+2

3

sinxcosx
=-cos2x+

3

sin2x
=2（sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

）
=2sin（2x-

π

6

）
∴T=

2π

2

=π，y_min=-2，
又∵-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，
∴-

π

3

+2kπ≤2x≤

2π

3

+2kπ，即-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，
所以y=2sin（2x-

π

6

）的單調(diào)增區(qū)間是[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]

點(diǎn)評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的恒等變形及三角函數(shù)的最值．把函數(shù)y的解析式利用三角函數(shù)的恒等變形化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．同時(shí)本題的技巧性比較強(qiáng)，要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)的恒等變形公式及法則．