Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，設tanα=x，tanβ=y，記y=f（x）
（1）求f（x） 的表達式；
（2）定義正數(shù)數(shù)列{a_n}；a₁=

1

2

，a_n+1²=2a_n•f（a_n）（n∈N^*）．試求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合

專題：新定義,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）由sin（2α+β）=3sinβ，設tanα=x，tanβ=y，記y=f（x），進行角的變換從而求出解析式；
（2）根據(jù)定義正數(shù)數(shù)列{a_n}；a₁=

1

2

，a_n+1²=2a_n•f（a_n）（n∈N^*），證明{

1

an2

-2}是首項為2，公比為

1

2

的等比數(shù)列．

解答： 解：（1）由sin（2α+β）=3sinβ，得sin[（α+β）]=3sin[（α+β）-α]，
所以tan（α+β）=2tanα，
于是，

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=2tanα，即

x+y

1-xy

=2x，解得：y=

x

1+2x2

；
（2）因為a n+12=2a_nf（a_n）=

2an2

1+2an2

，
所以

1

an+12

=

1

2an2

+1，
即

1

an+12

-2=

1

2

(

1

an2

-2)，
因此，{

1

an2

-2}是首項為2，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
所以

1

an2

-2=2(

1

2

)n-1，
故an=

2n-2 2n-1+1

．

點評：本題比較綜合，考查函數(shù)的解析式的求法、數(shù)列的通項公式的求法，屬于中檔題．