Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為e=2，
（1）雙曲線的漸近線方程為

 

；
（2）過雙曲線上一點M作直線AM，MB交雙曲線于A，B兩點，且斜率分別為是k₁，k₂，若直線AB過原點O，則k₁•k₂的值為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為e=2，可得

c

a

=2，即可求出雙曲線的漸近線方程；
（2）設點，求出斜率，代入雙曲線方程，兩方程相減，結合雙曲線的離心率，即可求得結論．

解答： 解：（1）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為e=2，
∴

c

a

=2，
∴

b

a

=

3

，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±

3

x；
（2）設M（x，y），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），則k₁•k₂=

y2-y12

x2-x12

∵

x2

a2

-

y2

b2

=1，

x12

a2

-

y12

b2

=1
∴兩式相減整理可得

y2-y12

x2-x12

=

b2

a2

∵雙曲線的離心率e=2，
∴1+

b2

a2

=4，
∴

y2-y12

x2-x12

=

b2

a2

=3
∴k₁•k₂=3
故答案為：（1）y=±

3

x．（2）3．

點評：本題考查雙曲線的幾何性質，考查斜率的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．