Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$是共面的三個(gè)向量，其中$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$，2），|$\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{6}$，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$．
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$垂直，求$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c}$、$\overrightarrow{a}$共線，求出|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|的模長(zhǎng)即可；
（Ⅱ）根據(jù)$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$垂直數(shù)量積為0，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值，再討論$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{c}$共線同向和反向時(shí)，求出$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$，2），|
∴|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{6}$，
又|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{6}$，且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，
∴|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{c}$|+|$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{6}$+$\sqrt{6}$=3$\sqrt{6}$，
或|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{c}$|-|$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{6}$-$\sqrt{6}$=$\sqrt{6}$；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）=0，
∴3${\overrightarrow{a}}^{2}$-2${\overrightarrow}^{2}$-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
即3×${（\sqrt{6}）}^{2}$-2×${（2\sqrt{3}）}^{2}$-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-6，
當(dāng)$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{c}$共線同向時(shí)，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=$\sqrt{6}$×2$\sqrt{6}$=12，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=${（\sqrt{6}）}^{2}$-6+12=12；
當(dāng)$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{c}$共線反向時(shí)，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=-$\sqrt{6}$×2$\sqrt{6}$=-12，
$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=${（\sqrt{6}）}^{2}$-6-12=-12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)公式的應(yīng)用問題，也考查了共線定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．