Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點(diǎn)，.

（1）求證：平面；

（2）點(diǎn)在線段上，，試確定的值，使平面；

（3）若平面，平面平面，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）60°

【解析】

（1）連接，根據(jù)幾何性質(zhì)可證明，利用線面垂直的判定，即可證明平面；

（2）連接交于N，連接，由相似三角形性質(zhì)可得，結(jié)合直線與平面平行的性質(zhì)，可得，利用比例關(guān)系，即可得到結(jié)論；

（3）證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，取平面的法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求得二面角的大小.

（1）證明：連接.

因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，，所以為正三角形.

又為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以.

又，

所以平面.

（2）當(dāng)時(shí)，平面.

理由如下：連接交于N，連接.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，平面平面，

所以，

所以，

所以，即.

（3）因?yàn)?/span>，平面平面，交線為，

所以平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

由，則有，，.

設(shè)平面的法向量為，由，

且，，可得，

令，得.

所以為平面的一個(gè)法向量.

取平面的法向量，

則，

故二面角的大小為.