【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點，.

（1）求證：平面；

（2）點在線段上，，試確定的值，使平面；

（3）若平面，平面平面，求二面角的大小.

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）60°

【解析】

（1）連接，根據(jù)幾何性質(zhì)可證明，利用線面垂直的判定，即可證明平面；

（2）連接交于N，連接，由相似三角形性質(zhì)可得，結(jié)合直線與平面平行的性質(zhì)，可得，利用比例關(guān)系，即可得到結(jié)論；

（3）證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，取平面的法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求得二面角的大小.

（1）證明：連接.

因為四邊形為菱形，，所以為正三角形.

又為的中點，所以.

因為，為的中點，所以.

又，

所以平面.

（2）當(dāng)時，平面.

理由如下：連接交于N，連接.

因為，所以.

因為平面，平面，平面平面，

所以，

所以，

所以，即.

（3）因為，平面平面，交線為，

所以平面.

以為坐標(biāo)原點，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

由，則有，，.

設(shè)平面的法向量為，由，

且，，可得，

令，得.

所以為平面的一個法向量.

取平面的法向量，

則，

故二面角的大小為.

練習(xí)冊系列答案
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維修次數(shù)

8

9

10

11

12

頻數(shù)

10

20

30

30

10

記表示1臺機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，表示1臺機器在維修上所需的費用（單位：元），表示購機的同時購買的維修服務(wù)次數(shù)．

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（2）若要求“維修次數(shù)不大于”的頻率不小于0.8，求的最小值．

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【題目】2020年開始，國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分.為了應(yīng)對新高考，某高中從高一年級1000名學(xué)生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取名學(xué)生進行調(diào)查.

（1）已知抽取的名學(xué)生中含女生45人，求的值及抽取到的男生人數(shù)；

（2）學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到的名學(xué)生進行問卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表. 請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有 99%的把握認為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；

（3）在抽取的選擇“地理”的學(xué)生中按分層抽樣再抽取6名，再從這6名學(xué)生中抽取2人了解學(xué)生對“地理”的選課意向情況，求2人中至少有1名男生的概率.

0.05

0.01

3.841

6.635

參考公式：.

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（2）在保證通過紅綠燈路口用時最短的前提下，小明優(yōu)先直行，求小明騎行途中恰好經(jīng)過處，且全程不等紅綠燈的概率；

（3）請你根據(jù)每條可能的路線中等紅綠燈的次數(shù)的均值，為小明設(shè)計一條最佳的上學(xué)路線，且應(yīng)盡量避開哪條路線？

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