Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2ax+b²=0．
（1）若a是從0、1、2、3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0、1、2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程沒有實根的概率；
（2）若a是從區(qū)間[0，3]內(nèi)任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]內(nèi)任取的一個數(shù)，求上述方程沒有實根的概率．

Answer 1

分析：（1）求得所有的（a，b）共12個，而滿足條件的（a，b）共3個，由此求得所求事件的概率．
（2）如圖，試驗的所有基本事件所構(gòu)成的區(qū)域為矩形OABC，其中所求事件的區(qū)域為三角形OEC，由所求事件發(fā)生的概率為

S△OEC

SOABC

，運算求得結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)事件A為“方程x²-2ax+b²=0無實根”；--------（1分）
當(dāng)△=4a²-4b²=4（a²-b²）＜0，即a＜b時，方程x²-2ax+b²=0無實根．---------（3分）
所有的（a，b）共12個：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），
（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
其中，第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．
事件A包含3個基本事件（0，1），（0，2），（1，2），
由于每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，------（4分）
∴事件A發(fā)生的概率P（A）=

3

12

=

1

4

．---------（6分）
答：方程x²-2ax+b²=0沒有實根的概率為

1

4

．-------（7分）
（2）設(shè)事件B為“方程x²-2ax+b²=0無實根”；----（8分）
如圖，試驗的所有基本事件所構(gòu)成的區(qū)域為矩形OABC：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，
其中構(gòu)成事件B的區(qū)域為三角形OEC，即{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a＜b}，
由于點（a，b）落在區(qū)域內(nèi)的每一點是隨機(jī)的，----------（10分）
∴事件B發(fā)生的概率P（B）=

S△OEC

SOABC

=

1 2 ×2×2

3×2

=

1

3

．-------（13分）
答：方程x²-2ax+b²=0沒有實根的概率為

1

3

．--------（14分）

點評：本題考查古典概型及其概率計算公式的應(yīng)用，幾何概型問題，屬于基礎(chǔ)題．