Question

如右圖所示，一張平行四邊形的硬紙片ABC₀D中，AD＝BD＝1，AB＝.沿它的對角線BD把△BDC₀折起，使點C₀到達平面ABC₀D外點C的位置．

(1)證明：平面ABC₀D⊥平面CBC₀；

(2)如果△ABC為等腰三角形，求二面角A－BD－C的大小

 

Answer 1

【答案】

(1)證明：因為AD＝BC₀＝BD＝1，

AB＝C₀D＝，

所以∠DBC₀＝90°，∠ADB＝90°.

因為折疊過程中，∠DBC＝∠DBC₀＝90°，

所以DB⊥BC，又DB⊥BC₀，故DB⊥平面CBC₀.

又DB⊂平面ABC₀D，所以平面ABC₀D⊥平面CBC₀.

(2)法一：如右圖，延長C₀B到E，使BE＝C₀B，連結AE，CE.

因為AD綊BE，BE＝1，DB＝1，∠DBE＝90°，所以AEBD為正方形，AE＝1.

由于AE，DB都與平面CBC₀垂直，所以AE⊥CE，可知

AC＞1.

因此只有AC＝AB＝時，△ABC為等腰三角形．

在Rt△AEC中，CE＝＝1，又BC＝1，

所以△CEB為等邊三角形，∠CBE＝60°.

由(1)可知，BD⊥BC，BD⊥BE，所以∠CBE為二面角A－BD－C的平面角，即二面角A－BD－C的大小為60°.

法二：以D為坐標原點，射線DA，DB分別為x軸正半軸和y軸正

半軸，建立如右圖的空間直角坐標系D－xyz，則

A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(0,0,0)．

由(1)可設點C的坐標為(x,1，z)，其中z＞0，則有

x²＋z²＝1.①

因為△ABC為等腰三角形，所以AC＝1或AC＝.

若AC＝1，則有(x－1)²＋1＋z²＝1.

由此得x＝1，z＝0，不合題意．

若AC＝，則有(x－1)²＋1＋z²＝2.②

聯立①和②得x＝，z＝.

故點C的坐標為.

由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以與夾角的大小等于二面角A－BD－C的大�。�

又＝(1,0,0)，＝，

cos〈，〉＝＝.

所以〈，〉＝60°，即二面角A－BD－C的大小為60°   

【解析】略