Question

已知程序框圖如圖所示，將輸出的a的值依次記為a₁，a₂，…，a_n，其中n∈N^*．且n≤2012，
請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（Ⅰ）將空格

①

處填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，該整數(shù)是多少？
（Ⅱ）寫(xiě)出a_n與n的關(guān)系式；
（III）設(shè)bn=

n

2

an，求{b_n}前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)榭驁D將輸出的a的值依次記為a₁，a₂，…，a_n，其中n∈N^*．且n≤2012，再根據(jù)判斷框中的條件滿足時(shí)結(jié)束循環(huán)，所以判斷框內(nèi)的條件應(yīng)是n＞2012；
（Ⅱ）由執(zhí)行框中的運(yùn)算表達(dá)式知，輸出的數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列；
（Ⅲ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)代入表達(dá)式后，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閚賦值為1時(shí)輸出的a=2即a₁，該數(shù)列共有2012項(xiàng)，所以n＞2012時(shí)算法結(jié)束，共輸出2012項(xiàng)；
（Ⅱ）由執(zhí)行框中的算式看出，該數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以an=2•3n-1(n≤2012)；
（Ⅲ）由bn=

n

2

an=

n

2

•2•3n-1=n•3n-1
所以S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1×3⁰+2×3¹+3×3²+…+n×3^n-1①
所以3Sn=3+2×32+3×33+…+(n-1)×3n-1+n×3n②
①-②得 -2Sn=(30+31+32+…+3n-1)-n×3n
整理得：Sn=

1-3n

4

+

n•3n

2

n∈N^*．且n≤2012．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減的求和方法，求一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的積數(shù)列的前n項(xiàng)和，往往是用錯(cuò)位相減法．