Question

已知定義在R上的函數f（x）和g（x）滿足g（x）≠0，f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），f（x）=a^x•g（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

．令an=

f(n)

g(n)

，則使數列{a_n}的前n項和S_n超過

15

16

的最小自然數n的值為

5

．

Answer 1

分析：分別令x等于1和x等于-1代入①得到兩個關系式，把兩個關系式代入②得到關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根據f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）可知 

f(x)

g(x)

=a^x 是減函數，對求得的a進行取舍，求出數列{a_n}的通項公式，進而求得其前n項和S_n，解不等式S_n≤

15

16

，即可求得結果．

解答：解：令x=1，得到f（1）=a•g（1）；令x=-1，f（-1）=

1

a

•g（-1）．
代入

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

 可得 a+

1

a

=

5

2

，化簡得2a²-5a+2=0，即（2a-1）（a-2）=0，解得a=2或a=

1

2

．
∵f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），∴(

f(x)

g(x)

)′＜0，
從而可得 

f(x)

g(x)

=a^x 是減函數，故a=

1

2

．
∴an=

f(n)

g(n)

=

1

2n

，S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．
再由 1-

1

2n

＞

15

16

 解得 n＞4，故 n的最小值為5，
故答案為 5．

點評：題考查學生會利用有理數指數冪公式化簡求值，利用導數研究函數的單調性，等比數列求和等知識，綜合性強，根據已知求出

f(x)

g(x)

=a^x 的單調性是解題的關鍵，考查運算能力和應用知識分析解決問題的能力，屬中檔題．