Question

已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x-4y+4=0與圓C相切，
（1）求圓C的方程；
（2）過點(diǎn)Q（0，-3）斜率為k的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當(dāng)k=3時(shí)，求x₁•x₂+y₁•y₂的值；
②當(dāng)x₁•x₂+y₁•y₂=8時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)為（a，0）且a＞0，利用圓與直線3x-4y+4=0相切得到圓心到直線的距離等于半徑2求出a，即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①當(dāng)k=3時(shí)，直線l的方程y+3=3x，代入圓的方程，利用韋達(dá)定理，即可求x₁•x₂+y₁•y₂的值；
②利用韋達(dá)定理，結(jié)合x₁•x₂+y₁•y₂=8，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，0）且a＞0，
∵圓與直線3x-4y+4=0相切，
∴圓心到直線的距離等于半徑2，即

|3a+4|

32+42

=2，求得a=2或a=-

14

3

（舍去），
∴a=2
∴圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）²+y²=4；
（2）①當(dāng)k=3時(shí)，直線l的方程y+3=3x，
代入圓的方程，可得10x²-22x+9=0，
∴x₁•x₂=

9

10

，x₁+x₂=

11

5

，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+（3x₁-3）（3x₂-3）=10x₁•x₂-9（x₁+x₂）+9=-

9

5

②設(shè)直線l的方程為y+3=kx，
代入圓的方程，可得（1+k²）x²-（4+6k）x+9=0，
∴x₁•x₂=

9

1+k2

，x₁+x₂=

4+6k

1+k2

，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+（kx₁-3）（kx₂-3）=（1+k²）x₁•x₂-3k（x₁+x₂）+9
=9-3k•

4+6k

1+k2

+9，
∵x₁•x₂+y₁•y₂=8，
∴9-3k•

4+6k

1+k2

+9=8，
∴k=

-3± 29

4

，
經(jīng)檢驗(yàn)k=

-3+ 29

4

，滿足題意，
∴直線l的方程為y=

-3+ 29

4

x-3．

點(diǎn)評：本題考查學(xué)生理解圓與直線相切時(shí)得到圓心到直線的距離等于半徑，會(huì)用點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)到直線的距離，會(huì)根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．