設函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意數(shù)a、b有f(a)+f(b)=,且

（1）求證：f(-x)=f(x)=-f(p-x)

（2）若0£x£時，f(x)>0，求證：f(x)在[0，p]上單調遞減；

（3）求f(x)的最小周期并加以證明．

答案：
解析：

（1）證明：∵ ∴ f(0)=1

又f(x)+ f(-x)=2f(0)f(x)，∴ f(x)=f(-x)

∵ f(x)+f(p-x)=

∴ f(x)=f(-x)=-f(p-x)

（2）證明：f(-x)=f(x)且0£x<時，f(x)>0    ∴ 當時，f(x)>0

設0£x1£x2£x，則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(p-x2)=，

∵

∴

∴ f(x1)>f(x2)，即f(x)在[0，p ]上單調遞減；

（3）解：由（1）f(-x)=-f(p-x)得f(x)=-f(p+x)，f(p+x)=-f(2p+x)

∴ f(2p+x)=f(x)，說明2p是原函數(shù)的一個周期．

假設T0也是原函數(shù)的一個周期，且T0Î(0，2p)，則由f(T0+x)=f(x)得f(0)=f(T0)

但若T0Î(0，p]時，因原函數(shù)是單調遞減函數(shù)，所以f(0)>f(T0)，兩者矛盾；

若T0Î(p，2p]時，2p-T0Î(0，p)，從而f(0)>f(2p-T0)=f(-T0)=f(T0)，兩者矛盾，所以T0不是原函數(shù)的一個周期，即2p是原函數(shù)的最小正周期．

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（09年東城區(qū)示范校質檢一理）（14分）

設函數(shù)f(x)是定義在上的奇函數(shù)，當時， （a為實數(shù)）．

   （Ⅰ）求當時，f(x)的解析式；

   （Ⅱ）若上是增函數(shù)，求a的取值范圍；

   （Ⅲ）是否存在a，使得當時，f(x)有最大值－6．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若當x∈(0,+∞)時,f(x)=lgx,則滿足f(x)＞0的x的取值范圍是___________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，并且f(x+2)=-f(x),當0≤x≤1時，有f(x)=x,則f(3.5)=____________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當x∈[0,1]時，f(x)＝x＋1，則f()＝________.

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科目：高中數(shù)學 來源：2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學（上海卷） 題型：填空題

設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當x∈(0,+∞)時，f(x)＝lg x，則滿足f(x)＞0

的x的取值范圍是  　　　　　　　　　　　　    .

 

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