Question

已知函數(shù)f（x）=xe^x+ax²+2x+1在x=-1處取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若函數(shù)y=xe^x與y=-x²-2x+m的圖象有惟一的交點，試求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）求出導函數(shù)，令導函數(shù)在x=-1處的值為0，列出方程，求出a，將a的值代入f（x），f′（x）；令f′（x）＞0求出遞增區(qū)間，令f′（x）＜0求出遞減區(qū)間．
（2）將圖象有惟一的交點轉(zhuǎn)化為方程有唯一的解；將方程變形轉(zhuǎn)化為f（x）與直線y=m+1有唯一解，由（1）求出f（x）的極小值，令極小值等于m+1求出m的值．

解答：解：（1）f^/（x）=e^x+xe^x+2ax+2=e^x（x+1）+2ax+2，
由f^/（-1）=0得-2a+2=0，
∴a=1，f（x）=xe^x+x²+2x+1，
f^/（x）=e^x（x+1）+2x+2=（x+1）（e^x+2），
由f^/（x）＞0，得x＞-1；由f^/（x）＜0，得x＜-1；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1）
（2）函數(shù)y=xe^x與y=-x²-2x+m的圖象有惟一的交點等價于
方程xe^x=-x²-2x+m，即f（x）=m+1有惟一解，
由（1）f（x）在（-∞，-1）遞減，（-1，+∞）遞增，
故f（x）在x=-1時取極小值（最小值）-

1

e

．
從而方程f（x）=m+1有惟一解的充要條件是m+1=f(-1)=-

1

e

．
所以，函數(shù)y=xe^x與y=-x²-2x+m的圖象有惟一交點時m=-

1

e

-1

點評：本題考查函數(shù)在極值點處的導數(shù)值是0、考查利用導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性、考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值、考查等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法．