Question

已知數列{a_n}和數列{b_n}，數列{a_n}的前n項和記為s_n，a₁=1，a_n+1=2s_n+1（n≥1），點（3^5n-4•a_n，b_n）在對數函數y=log₃x的圖象上．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）設cn=

3

bn•bn+1

，T_n是數列{c_n}的前n項和，求使Tn＜

m

20

對所有n∈N^*都成立的最小正整數m．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2s_n+1可得a_n=2s_n-1+1（n≥2），兩式相減可得a_n+1與a_n的遞推關系，結合等比數列的通項公式可求a_n，進而可求b_n
（2）由cn=

3

bn•bn+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，考慮利用裂項求和求出T_n，代入已知不等式即可求解滿足條件的m

解答：解（1）由a_n+1=2s_n+1可得a_n=2s_n-1+1（n≥2），
兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），又a₂=2s₁+1=3，所以a₂=3a₁，
故{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列，
所以an=3n-1，
所以bn=log3(35n-4•an)=log3(35n-4•3n-1)=6n-5(n∈N*)…．（7分）
（2）∵cn=

3

bn•bn+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，…..（9分）
所以Tn=

1

2

[(1-

1

7

)+(

1

7

-

1

13

)+…(

1

6n-5

-

1

6n+1

)]=

1

2

(1-

1

6n+1

)…..（11分）
因此，使得

1

2

(1-

1

6n+1

)＜

m

20

(n∈N*)成立的m必須且僅須滿足

1

2

≤

m

20

，
即m≥10，滿足要求的最小整數m為10…..（14分）

點評：本題主要考查了數列的遞推公式在求解數列的通項公式中的應用及等比數列的通項公式、裂項求和方法的應用，屬于數列知識的簡單綜合