Question

已知橢圓的一個焦點(diǎn)F與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為，傾斜角為45°的直線l過點(diǎn)F，
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為F₁，問拋物線y²=4x上是否存在一點(diǎn)M，使得M與F₁關(guān)于直線l對稱，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，
∴，①
又橢圓截拋物線的準(zhǔn)線x=-1所得弦長為，
∴得上交點(diǎn)為，
∴，②
由①代入②得（舍去），
從而，
∴該橢圓的方程為該橢圓的方程為；
（2）∵傾斜角為45°的直線l過點(diǎn)F，
∴直線l的方程為，
由（1）知橢圓的另一個焦點(diǎn)為，
設(shè)與F₁關(guān)于直線l對稱，
則得，
又M（1，-2）滿足y²=4x，
故點(diǎn)M在拋物線上。
所以拋物線y²=4x上存在一點(diǎn)M（1，-2），使得M與F₁關(guān)于直線l對稱。