Question

已知橢圓E：＋y2＝1(a＞1)的上頂點為M(0，1)，兩條過M的動弦MA、MB滿足MA⊥MB.

(1)當坐標原點到橢圓E的準線距離最短時，求橢圓E的方程；

(2)若Rt△MAB面積的最大值為，求a；

(3)對于給定的實數(shù)a(a＞1)，動直線AB是否經(jīng)過一定點？如果經(jīng)過，求出定點坐標(用a表示)；反之，說明理由．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1.（2）a＝3（3）

【解析】(1)由題，a2＝c2＋1，d＝＝＝c＋≥2，當c＝1時取等號，此時a2＝1＋1＝2，故橢圓E的方程為＋y2＝1.

(2)不妨設直線MA的斜率k>0，直線MA方程為y＝kx＋1，由

①代入②整理得(a2k2＋1)x2＋2a2kx＝0，

解得xA＝－，故A，

由MA⊥MB知直線MB的斜率為－，可得B，

則MA＝，MB＝.

則S△MAB＝MA·MB＝(1＋k2)

＝.

令k＋＝t(t≥2)，

則S△MAB＝.

當t＝時取“＝”，∵t＝≥2，得a>＋1.而(S△MAB)max＝，故a＝3或a＝(舍)．綜上a＝3.

(3)由對稱性，若存在定點，則必在y軸上．

當k＝1時，A，直線AB過定點Q.下面證明A、Q、B三點共線：

∵kAQ＝，

kBQ＝.

由kAQ＝kBQ知A、Q、B三點共線，即直線AB過定點Q.