Question

三位同學在研究函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

（x∈R） 時，分別給出下面三個結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域為 （-1，1）
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立．
你認為上述三個結(jié)論中正確的個數(shù)有______．

Answer 1

函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

化為分段函數(shù)即函數(shù)f(x)=

x 1+x (x≥0) x 1-x (x＜0)

∵f（-x）=-f（x）
∴函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

為奇函數(shù)，
∵x≥0時，f（x）=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1）
∴函數(shù)f（x）的值域為 （-1，1），故①正確
∵x≥0時，f（x）=

x

1+x

=1-

1

1+x

為[0，+∞）的單調(diào)增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，
∴若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），故②正確
下面用數(shù)學歸納法證明③正確
證明：n=1時，命題顯然成立；
假設n=k時命題成立，即fk(x)=

x

1+k|x|

則n=k+1時，f_k+1（x）=f（f_k（x））=

fk(x)

1+k|fk(x)|

=

x 1+k|x|

1+k| x 1+k|x| |

=

x

1+(k+1)|x|

即n=k+1時命題成立
∴fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立
故答案為3