Question

已知直線L：y=

1

2

x+m與曲線C：y=

1

2

|4-x2|

僅有三個交點，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、(-2，

  2

  )
• B、(-

  2

  ，

  2

  )
• C、(1，

  2

  )
• D、(1，

  3

  )

Answer 1

分析：分析曲線C的方程y=

1

2

|4-x2|

可得是橢圓的上半部分與雙曲線的上半部分，由圖形可得找出兩個臨界值即直線平移到（0，1）與直線和橢圓相切（△=16m²-8（4m²-4）=0）的時候，得到答案．

解答：解：由題意得曲線C：y=

1

2

|4-x2|

∴2y=

|4-x2|

即4y²=|4-x²|（y≥0）
當4-x²≥0時得到4y²=4-x²即

x2

4

+y2=1(y≥0)
當4-x²＜0時得到

x2

4

-y2=1(y≥0)
由以上可得曲線C的圖形為

∵直線L：y=

1

2

x+m與雙曲線

x2

4

-y2=1的漸近線平行
∴把直線y=

1

2

x向上平移平移到（0，1）點時有兩個交點，此時m=1．繼續(xù)向上平移則有3個交點．
當直線與橢圓的上半部分相切時此時有兩個交點．
聯(lián)立直線與橢圓的方程

y= 1 2 x+m x2 4 +y2=1

代入整理得2x²+4mx+4m²-4=0
△=16m²-8（4m²-4）=0即m=

2

或-

2

（舍去）
由圖示可得m=

2

由以上可得1＜m＜

2

故答案為C．

點評：解決此類問題的根據(jù)是靈活運用平面幾何的相關(guān)知識與結(jié)論，結(jié)合圖形解決問題，即數(shù)形結(jié)合的是想是高中數(shù)學(xué)的一個重點也是高考必考的知識點．