Question

【題目】已知，且，函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)：

（1）如果函數(shù)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值，并求此時(shí)函數(shù)的最小值；

（2）對(duì)滿(mǎn)足，且的任意實(shí)數(shù)，證明函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)唯一的定點(diǎn)；

（3）如果關(guān)于的方程有且只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） 的最小值為2（2）見(jiàn)解析（3），或

【解析】試題分析：（1）由函數(shù)為偶函數(shù)可得，從而求出，需代入檢驗(yàn)，結(jié)合基本不等式即可求出此時(shí)函數(shù)的最小值；（2）假設(shè)過(guò)定點(diǎn)，則對(duì)任意，且恒成立，可分別令和，從而得出定點(diǎn)；（3）令，且，則方程存在一個(gè)解，分別討論和時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）由得： ，解得（舍），或，

經(jīng)檢驗(yàn)為偶函數(shù)

∴.

又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

∴的最小值為2.

（2）假設(shè)過(guò)定點(diǎn)，則對(duì)任意，且恒成立.

令得： ；令得： ，

∴， ，解得唯一解

∴

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，

∴函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)唯一定點(diǎn).

（3）令為上連續(xù)函數(shù)，且，則方程存在一個(gè)解.

當(dāng)時(shí)， 為增函數(shù)，此時(shí)只有一解.

當(dāng)時(shí)，令 ，解得.

因?yàn)?/span>， ， ，令 ， 為增函數(shù).

所以當(dāng)時(shí)， ，所以， 為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， ，所以， 為增函數(shù).

所以，又定義域?yàn)?/span>，所以.

①若， 在上為減函數(shù)， ，而.

所以時(shí)， 至少存在另外一個(gè)零點(diǎn)，矛盾！

②若， 在上為增函數(shù)， ，而，所以在存在另外一個(gè)解，矛盾！

③當(dāng)，則，解得，此時(shí)方程為，

由（1）得，只有唯一解，滿(mǎn)足條件

綜上，當(dāng)，或時(shí)，方程有且只有一個(gè)解.