Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上的一點(diǎn)，△F₁F₂M的重心為G，內(nèi)心為I，且直線IG平行x軸，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意，設(shè)M（x₀，y₀），由G為△F₁MF₂的重心，得G點(diǎn)坐標(biāo)為 G（

x0

3

，

y0

3

），利用面積相等可得，

1

2

×2c•|y₀|=

1

2

（2a+2c）|

y0

3

|，從而求橢圓的離心率．

解答： 解：設(shè)M（x₀，y₀），∵G為△F₁MF₂的重心，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為 G（

x0

3

，

y0

3

），
∵IG∥x軸，
∴I的縱坐標(biāo)為

y0

3

，
又∵|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
∴S△F1MF2=

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|，
又∵I為△F₁MF₂的內(nèi)心，
∴|

y0

3

|即為內(nèi)切圓的半徑，
內(nèi)心I把△F₁MF₂分為三個(gè)底分別為△F₁MF₂的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形，
∴S△F1MF2=

1

2

（|MF₁|+|F₁F₂|+|MF₂|）|

y0

3

|，
即

1

2

×2c•|y₀|=

1

2

（2a+2c）|

y0

3

|，
∴2c=a，
∴橢圓C的離心率為e=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義及其應(yīng)用，同時(shí)考查了三角形面積相等的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．