Question

已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²的圖象在點（﹣1，2）處的切線恰好與直線3x+y=0平行．
（1）求函數(shù)f（x）在[﹣4，0]的值域；
（2）若f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調遞減，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：由已知條件得f'（x）=3mx²+2nx，
由f'（﹣1）=3，
∴3m﹣2n=﹣3．
又f（﹣1）=2，
∴﹣m+n=2，
∴m=1，n=3
∴f（x）=x³+3x²，
∴f'（x）=3x²+6x．
（1）令f'（x）=3x²+6x=0解得x=0或x=﹣2
當x∈[﹣4，﹣2]時，f'（x）＞0，
當x∈[﹣2，0]時，f'（x）＜0
∴f（x）_max=f（﹣2）=4，f（﹣4）=﹣64+48=﹣16，f（0）=0
∴函數(shù)f（x）在[﹣4，0]的值域為[﹣16，4]
（2）令f'（x）＜0，即x²+2x＜0，
函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間是（﹣2，0）．
∵f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調遞減，
則[t，t+1][﹣2，0]
∴實數(shù)t的取值范圍是[﹣2，﹣1]．