Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c．已知角A是銳角且cos2B-cos2A=2sin（）sin（）
（I ）求角A的大小：
（II）試確定滿足條件a=2，b=3的△ABC的個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（I）把已知等式的左邊第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，右邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，并利用平方差公式變形，整理后再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系變形，可求出cos2A的值，由A的范圍，得到2A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（II）由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，再由a小于b，利用三角形的邊角關(guān)系得到A小于B，得到滿足sinB值的角B有兩個解，則滿足條件的三角形ABC的個數(shù)為2．
解答：解：（I）∵cos2B-cos2A=2sin（）sin（），
且cos2B-cos2A=2cos²B-1-cos2A，
2sin（）sin（）=2（cosB+sinB）（cosB-sinB）
=2（cos²B-sin²B）=cos²B-sin²B，
∴2cos²B-1-cos2A=cos²B-sin²B，
整理得cos2A=（cos²B+sin²B）-1=-，
∵A為銳角，∴2A∈（0，π），
∴2A=，
∴A=；
（II）∵a=2，b=3，sinA=，
∴由正弦定理=得：sinB===，
∵a＜b，∴A＜B，
∴角B為銳角或鈍角，
則滿足條件的△ABC有兩個．
點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．