如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設AA1=2．M，N分別是C1D1，CC1的中點．
（1）求異面直線A1N與MC所成角的余弦值；
（2）設P為線段AD上任意一點，求證：MC⊥PN．
（1）∵正方體ABCD-A1B1C1D1中，DA、DC、DD1兩兩互相垂直，
∴以D為原點，分別以DA、DC、DD1為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標系
可得D（0，0，0），A（2，0，0），A1（2，0，2），C（0，2，0），M（0，1，2），N（0，2，1）
∴向量
A1N
=（-2，2，-1），
MC
=（0，1，-2）
根據(jù)空間向量的夾角公式，得cos＜
A1N
，
MC
＞=
A1N
•
MC
|
A1N
|•|
MC
|
=
4
5
15

設異面直線A1N與MC所成角為θ
可得cosθ=|cos＜
A1N
，
MC
＞|=
4
5
15
，即異面直線A1N與MC所成角的余弦值為
4
5
15
；
（2）由（1）中所建立的坐標系，得
∵P為線段AD上任意一點，
∴設P（x，0，0），其中x∈[0，2]
可得
PN
=（-x，2，1）
∵
MC
=（0，1，-2），
∴
MC
•
PN
=0×（-x）+1×2+（-2）×1=0
由此可得
MC
⊥
PN
，即P為線段AD上任意一點，都有MC⊥PN成立．
練習冊系列答案
相關習題

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將正方形沿對角線折成直二面角，給出下列四個結論：①；②與所成角為；③為正三角形；④與平面所成角為。其中正確的結論是             （填寫結論的序號）。

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（1）求異面直線BD與B1E所成角的大��；
（2）求四面體AB1D1C的體積．

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直線a與平面α所成的角為30°，直線b在平面α內，若直線a與b所成的角為θ，則（　　）
A．0°＜θ≤30°B．0°＜θ≤90°C．30°≤θ≤90°D．30°≤θ≤180°

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1（底面是正三角形，側棱垂直底面）異面直線AC與B1C1所成的角是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC，BD的交點，則C1O與A1D所成角余弦（　�。�
A．
1
2
B．0C．
3
6
D．
3
3

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在空間四邊形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°．則異面直線AO與BC的夾角的余弦值為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，邊長為2的正方形ABCD外有一點P，且PA=PB=PC=PD=2中，E是PC的中點．
（1）求證：PA∥平面EBD；
（2）求異面直線PA與BE所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；
（2）在（1）的條件下，求異面直線AE與CD所成角的余弦值；
（3）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值．

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