設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，是拋物線(xiàn)上的個(gè)不同的點(diǎn)（）.

（1） 當(dāng)時(shí)，試寫(xiě)出拋物線(xiàn)上的三個(gè)定點(diǎn)、、的坐標(biāo)，從而使得

；

（2）當(dāng)時(shí)，若，

求證：；

（3） 當(dāng)時(shí)，某同學(xué)對(duì)（2）的逆命題，即：

“若，則.”

開(kāi)展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開(kāi)展研究：

① 試構(gòu)造一個(gè)說(shuō)明該逆命題確實(shí)是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；

② 對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù)，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說(shuō)明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，并說(shuō)明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.

【評(píng)分說(shuō)明】本小題若填空不止一個(gè)研究方向，則以實(shí)得分最高的一個(gè)研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問(wèn)利用拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，設(shè)，

分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為.

由拋物線(xiàn)定義得到

第二問(wèn)設(shè)，分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn)，垂足分別為.

由拋物線(xiàn)定義得

第三問(wèn)中①取時(shí)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，

設(shè)，分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn)，垂足分別為.由拋物線(xiàn)定義得

，

則，不妨取；；；

解：（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，設(shè)，

分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為.由拋物線(xiàn)定義得

 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image010.png">，所以，

故可取滿(mǎn)足條件.

（2）設(shè)，分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn)，垂足分別為.

由拋物線(xiàn)定義得

   又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image017.png">

；

所以.

（3） ①取時(shí)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，

設(shè)，分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn)，垂足分別為.由拋物線(xiàn)定義得

，

則，不妨取；；；，

則，

.

故，，，是一個(gè)當(dāng)時(shí)，該逆命題的一個(gè)反例.(反例不唯一)

② 設(shè)，分別過(guò)作

拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，

由及拋物線(xiàn)的定義得

，即.

因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無(wú)關(guān)，所以只要將這點(diǎn)都取在軸的上方，則它們的縱坐標(biāo)都大于零，則

，

而，所以.

（說(shuō)明：本質(zhì)上只需構(gòu)造滿(mǎn)足條件且的一組個(gè)不同的點(diǎn)，均為反例.）

③ 補(bǔ)充條件1：“點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）滿(mǎn)足 ”，即：

“當(dāng)時(shí)，若，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）滿(mǎn)足，則”.此命題為真.事實(shí)上，設(shè)，

分別過(guò)作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，由，

及拋物線(xiàn)的定義得，即，則

，

又由，所以，故命題為真.

補(bǔ)充條件2：“點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”，即：

“當(dāng)時(shí)，若，且點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則”.此命題為真.（證略）

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線(xiàn)y2=4x，點(diǎn)F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng) 
FM
•
OM
=4時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求 
|
OM
|
|
FM
|
的最大值；
（3）設(shè)點(diǎn)B（0，1），是否存在常數(shù)λ及定點(diǎn)H，使得 
BM
+2
FM
=λ
HM
恒成立？若存在，求出λ的值及點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)與以此點(diǎn)為切點(diǎn)的切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，叫做曲線(xiàn)在該點(diǎn)的法線(xiàn)．
已知拋物線(xiàn)C的方程為y=ax2（a＞0，x≠0）．點(diǎn)M（x0，y0）是C上任意點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作C的切線(xiàn)l，法線(xiàn)m．
（I）求法線(xiàn)m與拋物線(xiàn)C的另一個(gè)交點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN取值范圍；
（II）設(shè)點(diǎn)F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，連接FM，過(guò)點(diǎn)M作平行于y軸的直線(xiàn)n，設(shè)m與x軸的交點(diǎn)為S，n與x軸的交點(diǎn)為K，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為T(mén)，求證∠SMK=∠FMN

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年?yáng)|北四校高三第一次高考模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿(mǎn)分12分）

已知橢圓M的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) ，且焦點(diǎn)在x軸上，若M的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，M的離心率，過(guò)M的右焦點(diǎn)F作不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)，交M于A，B兩點(diǎn)。

（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)N（t，0）是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：黑龍江省2009-2010學(xué)年度上學(xué)期高三期末（數(shù)學(xué)理）試題 題型：解答題

已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，離心率，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)．

（1）求橢圓方程； 

（2）設(shè)點(diǎn)是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線(xiàn)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

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