Question

已知a＞0，b∈R，函數(shù)f(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x+b．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）令a=2，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）可以作三條不同的直線與曲線y=f（x）相切，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由f′(x)=x+

a

x

-(a+1)=

(x-1)(x-a)

x

，x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得x=a，或x=a．由此根據(jù)a的取值進(jìn)行分類討論，能求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（II）設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），切線斜率為k，則關(guān)于x₀的方程

1

2

x02+2lnx0-3x0+b=

(x0-1)(x0-2)(x0-3)

x0

有三個(gè)不等實(shí)根，即b=

1

2

x02-3x0-

6

x0

-2lnx0+11，由此入手能夠推導(dǎo)出當(dāng)b∈（

9

2

-2ln3，12-6

2

-ln2）時(shí)，可作三條切線．

解答：解：（I）∵a＞0，b∈R，函數(shù)f(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x+b，
∴f′(x)=x+

a

x

-(a+1)
=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，x∈（0，+∞）
令f′（x）=0，得x=a，或x=a．
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，a），（1，+∞）；
②當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
③當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），（a，+∞）．
（II）設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），切線斜率為k，
則方程組

y0=k(x0-3) y0= 1 2 x02+2lnx0-3x0+b k=f′(x0)= (x0-1)(x0-2) x0

，
即關(guān)于x₀的方程

1

2

x02+2lnx0-3x0+b=

(x0-1)(x0-2)(x0-3)

x0

有三個(gè)不等實(shí)根，
整理，得b=

(x0-1)(x0-2)(x0-3)

x0

-(

1

2

x02+2lnx0-3x0)
=

1

2

x02-3x0-

6

x0

-2lnx0+11，
令h（x）=

1

2

x2-3x-

6

x

-2lnx+11，x∈(0，+∞)，
則h′（x）=x-3+

6

x2

-

2

x

，
h′（x）=0，解得x=

2

，或x=3．
當(dāng)x變化時(shí)，h′（x）與h（x）的變化情況如下表：

x	（0， 2 ）	2	（ 2 ，3）	3	（3，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得極大值h（

2

）=12-6

2

-ln2．
當(dāng)x=3時(shí)，h（x）取得極小值h（3）=

9

2

-2ln3；
又當(dāng)x趨近于0時(shí)，h（x）充分小，當(dāng)x趨近于+∞時(shí)，h（x）充分大，
故當(dāng)b∈（

9

2

-2ln3，12-6

2

-ln2）時(shí)，可作三條切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．