Question

存在區(qū)間M[a，b]（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列5個函數(shù)：
①f（x）=-x+1； ②f（x）=e^x；③f（x）=x³；④f（x）=cos

π

2

x；⑤f（x）=lnx+1．
其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有

①③④

．（把所有正確的序號都填上）

Answer 1

分析：因為由題意可知，定義域和值域相同的區(qū)間為穩(wěn)定區(qū)間，那么根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知①f（x）=-x+1，③f（x）=x³，④f(x)=cos(

π

2

x)，都可以找到穩(wěn)定區(qū)間[0，1]．
而②f（x）=e^x和⑤f（x）=lnx+1 沒有滿足條件的區(qū)間．

解答：解：①假設函數(shù)f（x）=-x+1存在一個“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]（a＜b），由函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上單調(diào)遞減，∴必有f（a）=b，f（b）=a．得-a+1=b，即a+b=1，令a=0，則b=1，經(jīng)驗證區(qū)間[0，1]是函數(shù)f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”；
③假設函數(shù)f（x）=x³存在一個“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]（a＜b），由函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，∴必有f（a）=a，即a³=a，解得a=0，±1，則區(qū)間[-1，0]，[0，1]，[-1，1]都是函數(shù)f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”；
④：同理可以驗證區(qū)間[0，1]是④的一個“穩(wěn)定區(qū)間”；
而②f（x）=e^x和⑤f（x）=lnx+1 沒有滿足條件的區(qū)間．
故答案為①③④．

點評：充分理解定義域和值域相同的區(qū)間為穩(wěn)定區(qū)間是解題的關(guān)鍵．